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LEXIKON

Mathematk

[
die; griechisch mathema, „Wissenschaft“
]
ursprünglich Bezeichnung für Wissenschaft überhaupt, entstand aus praktischen Problemen des Zählens, Messens, Rechnens und geometrischen Zeichnens. Auch heute ist es noch eine wichtige Aufgabe der Mathematik, mathematische Modelle zur Beschreibung von natur-, wirtschafts- und sozialwissenschaftlichen Erscheinungen bereitzustellen, die der numerischen Behandlung durch Computer zugänglich sind.
Unabhängig von der Frage nach der möglichen Verwendbarkeit als Modell beschäftigt sich die Mathematik mit (algebraischen, geometrischen und Ordnungs-)Strukturen und ihrer axiomatischen (Axiom) Begründung, mit Arithmetik (auch Zahlentheorie und Kombinatorik), mit Geometrie (auch Topologie) und ihren Teilgebieten, mit dem weiten Gebiet der Analysis (z. B. Infinitesimalrechnung), mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, mit Numerik und Informatik, mit Mengenlehre und mathematischer Logik, neuerdings auch mit der Frage nach Ordnung und Chaos (Chaostheorie).
Darüber hinaus hat D. Hilbert eine intensive Grundlagenforschung der Mathematik als Grenzgebiet zur Philosophie ausgelöst, die sich um die Klärung widerspruchsvoller Begriffsbildungen in der Mathematik, aber auch um Fragen der Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit bemüht.
Schon diese überaus kurz gefasste Liste verschiedenartiger und sich teilweise überschneidender Teilgebiete mathematischer Forschung (die sich weiter differenzieren ließe) lässt deutlich werden, dass ein Ordnen der Mathematik von den Inhalten her („reine“ und „angewandte“ Mathematik) nicht mehr möglich ist. Vielmehr wird die Einheit in der Vielfalt der Mathematik heute mit der durchgängigen Verwendung einheitlicher Methoden und Begriffe (wie z. B. Gruppe, Vektor, Funktion, Abbildung, Algorithmus, Variable) hergestellt.

Geschichte

Mathematik: Zeittafel zur Geschichte
Wichtige Daten zur Geschichte der Mathematik
v. Chr.
um 3000In Ägypten gibt es Zahlenzeichen bis 100 000; die Babylonier kennen das Sexagesimalsystem
um 1750Der Papyrus Rhind (Ägypten) wird geschrieben; er enthält u. a. die Rechentechnik der Multiplikation, der Division und der Bruchrechnung
um 450Die Pythagoreer erkennen, dass 2 (bei der Berechnung der Diagonale eines Quadrats) keine Zahl im üblichen Sinn ergibt
um 300Euklid sammelt und systematisiert das mathematische Wissen seiner Zeit in seinem Werk „Elemente“; Archimedes berechnet den Kreisumfang und Kreisinhalt durch Grenzwertbetrachtung
um 200Apollonius von Perge vollendet die Kegelschnittlehre der Antike
n. Chr.
um 700Das Zeichen Null (0) wird in Indien in die Mathematik eingeführt; es erlaubt das Positionsrechnen
850Al Chwarismi schreibt seine „Algebra“
1202Leonardo von Pisa verwendet arabische Ziffern im kaufmännischen Rechnen
15181550A. Ries(e) veröffentlicht die ersten deutschen Rechenlehrbücher
1545G. Cardano veröffentlicht die Formel zur Lösung kubischer Gleichungen
1630P. de Fermat arbeitet über Zahlentheorie und Flächenberechnungen
1637R. Descartes begründet die Methode der analytischen Geometrie
1640B. Pascal verfasst eine Abhandlung über Kegelschnitte
1665/66I. Newton arbeitet über die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung
16721693G. W. Leibniz entwickelt die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung sowie der Determinantenrechnung
1701J. Bernoulli veröffentlicht seine Arbeit über Variationsrechnung
1738D. Bernoulli veröffentlicht eine mathematische Arbeit zur Hydrodynamik
1743L. Euler löst die lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
1755J. L. Lagrange arbeitet über Variationsrechnung sowie Differenzialgleichung der Minimalflächen
1796C. F. Gauß konstruiert das regelmäßige 17-Eck mit Zirkel und Lineal
1799C. F. Gauß gibt den ersten einwandfreien Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
1810J. B. J. Fourier arbeitet über trigonometrische Reihen
1812P. S. Laplace veröffentlicht seine „Theorie der Wahrscheinlichkeiten“
1827A. F. Möbius, Mitbegründer der neueren Geometrie, veröffentlicht sein Hauptwerk „Der baryzentrische Kalkül“
1830E. Galois schreibt seine Arbeit über Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen
1854G. Boole arbeitet über Grundlagen der mathematischen Logik; B. Riemann schreibt „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“
1872F. Klein veröffentlicht das so genannte Erlanger Programm
1874G. Cantor begründet die Mengenlehre
1879K. Weierstraß arbeitet über die analytischen Funktionen mehrerer komplexer Variablen
1882F. Lindemann beweist die Transzendenz der Zahl π
1887R. Dedekind schreibt „Was sind und was sollen die Zahlen?“
1889G. Peano stellt 5 Axiome des Aufbaus des Systems der natürlichen Zahlen auf
1899D. Hilbert bringt sein grundlegendes Werk „Grundlagen der Geometrie“ heraus
1907L. E. J. Brouwer begründet den Intuitionismus
1910B. Russell und N. Whitehead beginnen mit der Veröffentlichung der „Principia mathematica“
19201930E. Noether erkennt die Bedeutung der algebraischen Strukturen und wird zur Mitbegründerin der modernen Algebra
1925/26H. Weyl arbeitet über die Darstellungstheorie von Gruppen
1928J. von Neumann liefert bahnbrechende Arbeiten über die Spieltheorie
1931K. Gödel veröffentlicht den nach ihm benannten Vollständigkeitssatz
1934Nicolas Bourbaki (Pseudonym für eine Gruppe von Mathematikern) beginnt die Grundzüge der Mathematik auf mengentheoretischer Grundlage darzustellen
1948N. Wiener veröffentlicht sein berühmtes Buch über Kybernetik
1954A. A. Markow veröffentlicht seine Theorie der Algorithmen
1972R. F. Thom entwickelt die Katastrophentheorie (Stabilität geometrischer Formen in der Natur)
1976K. Appel und W. Haken lösen das berühmte „Vierfarbenproblem“
1982B. B. Mandelbrot veröffentlicht sein Hauptwerk „Die fraktale Natur der Geometrie“
1983G. Faltings beweist die Mordell'sche Vermutung, ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Lösung des Fermatproblems
1993A. J. Wiles beweist den Fermat'schen Satz
1998Mathematiker der Universität von Michigan lösen das Kepler'sche Problem
2002W. Tucker beweist die fraktale Struktur der exakten Lösung der Lorenz-Gleichungen (Lorenz-Attraktor); P. Mihailescu beweist die Catalansche Vermutung, nach der die Gleichung xpyq = 1 nur eine ganzzahlige Lösung hat: 3223 = 1
2009Die 47. Mersennesche Primzahl wird gefunden: 242 643 8011
Das mathematische Denken dürfte einerseits aus dem Zählen von Gegenständen (Finger, Hände), andererseits aus praktischen geometrischen Aufgaben (Landvermessung, Häuserbau) entstanden sein. Älteste Urkunde ist das Rechenbuch des Ahmes (1800 v. Chr.) in Ägypten. Wissenschaftlichen Charakter gaben der Mathematik die Griechen (Pythagoras, Euklid, Archimedes, Apollonius). Die Trigonometrie entwickelte sich durch die Beschäftigung mit der Astronomie. Im Wesentlichen arithmetische Gedankengänge gelangten durch die Araber (Al Chwarismi) und die Inder, die bereits die Null, negative und irrationale Zahlen kannten, etwa seit dem 6. Jahrhundert über Spanien nach Europa. Erst im 13. Jahrhundert entwickelte sich (zuerst in Italien) die Mathematik weiter. Es entstanden die Zeichenschrift und das heute allgemein übliche „schriftliche Rechnen“ sowie die Variable (F. Vieta), so dass sich die Gleichungslehre weiterentwickeln konnte (G. Cardano). Im 17. Jahrhundert entstanden die Logarithmen. R. Descartes entwickelte die analytische Geometrie; I. Newton und G. W. Leibniz erfanden die Infinitesimalrechnung. Diese Neuerungen verursachten einen ungeheuren Aufschwung auf allen Gebieten der Mathematik, insbesondere der Analysis, der sich bis in das 19. Jahrhundert erstreckte (B. Riemann, K. Weierstraß). Die Entwicklung der Arithmetik und Algebra ist mit den Namen P. Fermat, E. Galois und C. F. Gauß verbunden.
Die zeichnende Geometrie, die seit den Griechen keine Fortschritte gemacht hatte, erfuhr in der Renaissance eine bedeutsame Entwicklung durch die Malerei, die die Gesetze der Perspektive erforschte (F. Brunelleschi, Leonardo da Vinci, A. Dürer). Die moderne (projektive) Geometrie wurde im 17. Jahrhundert durch G. Desargues und B. Pascal begründet. Von großer Bedeutung waren die kritischen Untersuchungen von Gauß über das Parallelenaxiom und die im Anschluss daran geschaffenen verschiedenen nichteuklidischen Geometrien. F. Klein führte den Gruppenbegriff als Ordnungsprinzip in die Geometrie ein.
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