Vektoren
Dreiecksberechnung
Gegeben: A(0|0|-4) B(4|0|0) C(t-8|t|t-8) t E R Zeigen sie, dass die Punkte A, B und C für jedes t ein Dreieck bestimmen und dass dieses Dreieck den Flächeninhalt A= 2* (Wurzel aus) 2*t2+16 hat.
Zuerst rechnet man die Vektoren AB, AC und BC aus und zeigt, dass sie linear unabhängig sind, dann liegen sie in einer Ebene. Das kann man z.B. dadurch zeigen, dass man den Summenvektor von AB und AC bildet und mit BC vergleicht.
AB = (4/0/4)
AC = (t-8/t/t-4)
BC = (t-4/t/t-8)
AB + AC = (t-4/t/t)
Das heißt, der Summenvektor und BC sind nicht parallel und damit sind die 3 Vektoren linear unabhängig für beliebige t.
Den Flächeninhalt erhält man, indem man mit dem Kreuzprodukt (in der Formelsammlung muss man 3 2x2-Determinanten ausrechnen) der Vektoren AB und AC die Fläche des aufgespannten Parallelogramms ausrechnet, die Hälfte davon ist die Fläche des Dreiecks.
Also: Fläche des Parallelogramms = Betrag von AB kreuz AC.
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