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Zentrifugal- und Zentripetalkraft

Immer mehr Satelliten kreisen um unsere Erde. Sie werden gebraucht, um eine weltweite Kommunikation zu ermöglichen. Denke nur an den zunehmenden Mobilfunk. Auch Anwendungen wie das GPS, das mehr und mehr Nutzer bekommt, braucht diese Satelliten. Am Ende dieses Artikels sollte es dir möglich sein, die Gesetzmäßigkeiten zu kennen, nach denen sich diese Körper am Himmel bewegen.

Zentripetalbeschleunigung

Hinter den Gesetzmäßigkeiten, denen Satelliten gehorchen, liegt im Grunde nichts weiter als eine Kreisbewegung. Diese wollen wir uns etwas genauer ansehen. Stellen wir uns eine Kreisscheibe vor, die gleichmäßig um eine Achse S rotiert. Betrachten wir jetzt einen Punkt P am Rand der Scheibe und verfolgen seinen Weg bei einer Umdrehung.

Bild

Zum Zeitpunkt t1 hat der Randpunkt P die Geschwindigkeit v1. Die Geschwindigkeit können wir als Tangente zu der Verbindungslinie r1 zum Zeitpunkt t1 einzeichnen. Der Betrag von v1 verändert sich nicht, denn wir betrachten eine gleichmäßige Rotation. Zu einem späteren Zeitpunkt t2 hat sich der Randpunkt P weiter bewegt. Genau wie vorher zeichnen wir die Geschwindigkeit v2 als Tangente zur Verbindungslinie r2 ein. Die Geschwindigkeitsvektoren stehen also senkrecht zu ihrem jeweiligen Ortsvektor. Wir sehen sofort, dass v1 nicht gleich v2 ist, denn die Richtung der Geschwindigkeit hat sich verändert.

Eine Änderung der Geschwindigkeit nicht nur die Änderung ihres Betrags, sondern auch die Richtungsänderung kann nur durch eine Beschleunigung erfolgen. Machen wir uns also auf die Suche nach dieser Beschleunigung.

Hierfür untersuchen wir zwei Zeitpunkte t1 und t2, die sehr eng beieinander liegen. Genau genommen müssen wir den Grenzwert

Formel

bilden. Betrachten wir hierzu die folgende Grafik, welche die zwei Geschwindigkeitsvektoren Formel zu den Zeitpunkten t1 und t2 zeigt. Formel beginnen jeweils im Punkt A.

Bild

Es gilt: Formel. Dabei sind die Beträge der Geschwindigkeiten gleich, Formel. Der Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren ist derselbe wie der zwischen den Ortsvektoren, da beide denselben Winkel durchlaufen müssen, damit sie weiterhin senkrecht zueinander stehen. Ist das Zeitintervall sehr klein, dann ist der Betrag der Verschiebung |Δr| annähernd so groß wie der Bogen Δs. Die mittlere Beschleunigung ist das Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung Δv zum Zeitintervall Δt. Aus den beiden Grafiken kannst du ersehen, dass die Änderung der Geschwindigkeit (und damit die mittlere Beschleunigung) für sehr kleine Δt annähernd senkrecht zu den Geschwindigkeitsvektoren steht und zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Da der Winkel im Entfernungsdreieck der ersten Grafik derselbe ist wie der Winkel im Geschwindigkeitsdreieck der zweiten Grafik, folgt daraus, dass auch die entsprechenden Seitenlängen das gleiche Verhältnis haben müssen. Für sehr kleine Δt gilt dann:

Formel

wobei r der Radius des Kreises und v der Betrag der Geschwindigkeit ist. Schreibt man jetzt Δs = v · Δt und setzt das in die obige Gleichung ein, erhält man nach Umformung:

Formel

Aus dem Grenzfall Δt 0 resultiert nach Definition eine Beschleunigung mit dem Ergebnis:

Formel

wenn man v = ω · r setzt. ω wird Winkelgeschwindigkeit genannt und az ist die Zentripetalbeschleunigung.

  1. Zentripetalbeschleunigung
  2. Zentripetal-, Zentrifugal- und Fliehkraft
  3. Technischer Nutzen
  4. Teste dein Wissen!

Bibliografie:

  • David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik, Weinheim 2009
  • Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik, Berlin 2006
  • Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik, Heidelberg 2009
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