Zentrifugal- und Zentripetalkraft

Hinter den Gesetzmäßigkeiten, denen Satelliten gehorchen, liegt im Grunde nichts weiter als eine Kreisbewegung. Diese wollen wir uns etwas genauer ansehen. Stellen wir uns eine Kreisscheibe vor, die gleichmäßig um eine Achse S rotiert. Betrachten wir jetzt einen Punkt P am Rand der Scheibe und verfolgen seinen Weg bei einer Umdrehung.

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Zum Zeitpunkt t₁ hat der Randpunkt P die Geschwindigkeit v₁. Die Geschwindigkeit können wir als Tangente zu der Verbindungslinie r₁ zum Zeitpunkt t₁ einzeichnen. Der Betrag von v₁ verändert sich nicht, denn wir betrachten eine gleichmäßige Rotation. Zu einem späteren Zeitpunkt t₂ hat sich der Randpunkt P weiter bewegt. Genau wie vorher zeichnen wir die Geschwindigkeit v₂ als Tangente zur Verbindungslinie r₂ ein. Die Geschwindigkeitsvektoren stehen also senkrecht zu ihrem jeweiligen Ortsvektor. Wir sehen sofort, dass v₁ nicht gleich v₂ ist, denn die Richtung der Geschwindigkeit hat sich verändert.

Eine Änderung der Geschwindigkeit - nicht nur die Änderung ihres Betrags, sondern auch die Richtungsänderung - kann nur durch eine Beschleunigung erfolgen. Machen wir uns also auf die Suche nach dieser Beschleunigung.

Hierfür untersuchen wir zwei Zeitpunkte t₁ und t₂, die sehr eng beieinander liegen. Genau genommen müssen wir den Grenzwert

bilden. Betrachten wir hierzu die folgende Grafik, welche die zwei Geschwindigkeitsvektoren zu den Zeitpunkten t₁ und t₂ zeigt. beginnen jeweils im Punkt A.

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Es gilt: . Dabei sind die Beträge der Geschwindigkeiten gleich, . Der Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren ist derselbe wie der zwischen den Ortsvektoren, da beide denselben Winkel durchlaufen müssen, damit sie weiterhin senkrecht zueinander stehen. Ist das Zeitintervall sehr klein, dann ist der Betrag der Verschiebung |Δr| annähernd so groß wie der Bogen Δs. Die mittlere Beschleunigung ist das Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung Δv zum Zeitintervall Δt. Aus den beiden Grafiken kannst du ersehen, dass die Änderung der Geschwindigkeit (und damit die mittlere Beschleunigung) für sehr kleine Δt annähernd senkrecht zu den Geschwindigkeitsvektoren steht und zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Da der Winkel im Entfernungsdreieck der ersten Grafik derselbe ist wie der Winkel im Geschwindigkeitsdreieck der zweiten Grafik, folgt daraus, dass auch die entsprechenden Seitenlängen das gleiche Verhältnis haben müssen. Für sehr kleine Δt gilt dann:

wobei r der Radius des Kreises und v der Betrag der Geschwindigkeit ist. Schreibt man jetzt Δs = v · Δt und setzt das in die obige Gleichung ein, erhält man nach Umformung:

Aus dem Grenzfall Δt → 0 resultiert nach Definition eine Beschleunigung mit dem Ergebnis:

wenn man v = ω · r setzt. ω wird Winkelgeschwindigkeit genannt und a_z ist die Zentripetalbeschleunigung.