Wahrscheinlichkeitsverteilung

ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ihre einzelnen Werte auftreten. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße wird durch das Verteilungsgesetz wiedergegeben, die einer stetigen Zufallsgröße durch die Wahrscheinlichkeitsdichte. Eine Zufallsgröße wird durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig beschrieben und in der Praxis meist durch zwei Parameter charakterisiert: ihren Mittelwert (Erwartungswert) und ihre Streuung (Varianz).

Die wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Binomialverteilung (Bernoulli’sche oder Newton’sche Wahrscheinlichkeitsverteilung), die Poissonverteilung und die Gauß-Verteilung (Normalverteilung). Einer Binomialverteilung liegt ein Zufallsvorgang der folgenden Art zugrunde: Aus einer Urne, in der sich schwarze und weiße Kugeln befinden, wird n-mal jeweils eine Kugel gezogen und dann wieder zurückgelegt (Einzelereignis). Als Zufallsgröße wird die Anzahl k gezogener schwarzer Kugeln betrachtet, wobei die Wahrscheinlichkeit p für das Ziehen einer schwarzen Kugel gegeben sei. Die Binomialverteilung ist für kleine Werte von n gut brauchbar; ihr Mittelwert ist n · p, ihre Streuung n · p · (1 – p).

Kann die Zufallsgröße dagegen sehr viele Werte annehmen (d. h. n sehr groß), gilt entweder eine Poisson- oder eine Gauß-Verteilung. Die Poissonverteilung wird bei sehr selten auftretenden Einzelereignissen angewandt und entsteht rechnerisch aus der Binomialverteilung durch den Grenzübergang n → ∞, p → 0 bei konstantem Produkt n · p = a; sowohl Mittelwert als auch Streuung sind durch die Größe a gegeben. Für den festen Wert p = ¹/₂ führt der Grenzübergang n → ∞ zur Gauß-Verteilung; sie beschreibt im Gegensatz zur Binomial- und zur Poissonverteilung eine stetige Zufallsgröße.