Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gebiet der angewandten Mathematik; untersucht die Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen. Zufällige Ereignisse, z. B. das Werfen einer „6“ beim Würfeln, werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft als Werte einer Zufallsgröße aufgefasst, deren Eigenschaften durch eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden; beim Würfeln ist z. B. die nach oben zeigende Augenzahl eine solche Zufallsgröße, sie kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 annehmen; jeder dieser Werte stellt ein zufälliges Ereignis dar.

Zentraler Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Ist in einer Reihe von n Beobachtungen ein bestimmtes Ereignis m-mal eingetreten, so bezeichnet man den Quotienten m/n als die relative Häufigkeit dieses Ereignisses. Fällt z. B. bei einer Reihe von 40 Würfen 8-mal die „6“, so ist die relative Häufigkeit des Ereignisses „Werfen einer 6“ 8/40 = 0,2. Die relative Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses E hängt von der Zahl n der Beobachtungen bzw. Versuche ab; sie strebt mit wachsendem n einem konstanten Wert zu: der sog. statistischen Wahrscheinlichkeit P (E). Bei einer hinreichend großen Zahl von Beobachtungen kann also die relative Häufigkeit als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit genommen werden. Die statistische Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „6“ beträgt für einen idealen Würfel P(„6“) = ¹/₆ = 0,1667; eine Reihe von 1200 Würfen liefert mit 197 günstigen Würfen den Näherungswert 197/1200 = 0,1641. Die statistische Wahrscheinlichkeit ist stets eine Zahl zwischen 0 und 1.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Beobachtungsreihe entweder das eine oder das andere zweier einander ausschließender Ereignisse E und F eintritt, ist gleich der Summe der entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten: P (E oder F) = P (E) + P (F); so beträgt z. B. die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer „5“ oder einer „6“: P(„5“ oder „6“) = ¹/₆ + ¹/₆ = ¹/₃.

Zufällige Ereignisse nennt man unabhängig, wenn das Eintreten oder Nichteintreten eines der Ereignisse keinen Einfluss auf das Eintreten oder Nichteintreten eines anderen hat. Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier unabhängiger Ereignisse E und F ist gleich dem Produkt der entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten: P (E und F) = P (E) · P (F); z. B. beträgt die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf mit zwei Würfeln, beim ersten Würfel die Augenzahl 5 (Ereignis E) und beim zweiten die Augenzahl 6 (Ereignis F) zu erzielen: P („5“ und „6“) = ¹/₆ ·  ¹/₆ = ¹/₃₆.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt eine wichtige Rolle im Versicherungswesen (Bestimmung der Versicherungsbeiträge), im Messwesen (Fehlerbetrachtung) und in der statistischen Physik (kinetische Gastheorie, Quantenphysik).