Lexikon
Zinseszinsrechnung
spezielle Art der Zinsrechnung bei regelmäßiger Mitverzinsung der anfallenden Zinsen. Wird ein Geldbetrag mit dem Anfangswert K0 bei einem Zinssatz p verzinsbar angelegt, so beträgt sein Endwert nach n Jahren:
Kn = K0 · qn,
wobei q = 1 + p/100 der Aufzinsungsfaktor (auch Zinsfaktor) ist. Die in dieser Zeit angefallenen Zinseszinsen errechnen sich nach der Formel:
Z = K0 · (qn– 1).
Für ein Anfangskapital von z. B. K0 = 2000 Euro, einen Zinssatz von 6% (q = 1,06) und eine Laufzeit von n = 3 Jahren belaufen sich die Zinseszinsen auf 382,03 Euro, das Endkapital mithin auf 2382,03 Euro. Bei laufenden Zahlungen eines Festbetrages R (Rente, Tilgungsrate einer Anleihe) am Ende eines jeden Jahres auf ein Konto führt eine jährliche Verzinsung nach n Jahren zu einem Endwert
En = R · (qn–1) / (q –1).
So ergibt z. B. eine jährliche Zahlung von R = 200 Euro über 10 Jahre hinweg bei 6-prozentiger Verzinsung die Endsumme E10 = 2636,16 Euro.
Für die Tilgung einer Anleihe K in n festen Jahresraten zu R Euro (Annuität) bei jährlicher Verzinsung um p% gilt die Tilgungsformel:
K · qn = R · (qn–1) / (q –1),
wobei die linke Seite dem Endwert der Anleihe und die rechte Seite dem Endwert der laufenden Raten nach n Jahren entspricht. Aus dieser Formel leiten sich die Formeln zur Berechnung der Annuität bzw. der Laufzeit ab:
R = K · qn · (q– 1)/(qn– 1),
n = – log [1 – K · (q – 1)/R] / log q.
Soll z. B. ein Kredit über K = 2000 Euro bei 6-prozentiger Verzinsung in n = 3 Jahren zurückgezahlt werden, beträgt die Annuität R = 748,22 Euro.
Um denselben Kredit in Jahresraten zu R = 500 Euro zu tilgen, wäre eine Laufzeit von n = 4,71 Jahren nötig.
Häufig gewähren Geldinstitute Kredite auf der Grundlage eines monatlichen nominellen Zinssatzes pnom; die Zinsen Z zuzüglich einer Bearbeitungsgebühr B errechnen sich dabei aus der Kreditsumme K, der Laufzeit m (in Monaten) und dem Prozentsatz pB für die Bearbeitungsgebühr wie
Z + B = K · (pnom · m + pB) / 100
Die Kreditsumme ergibt zusammen mit den Zinsen und der Bearbeitungsgebühr die Gesamtdarlehenssumme, die in m gleiche Monatsraten R aufgeteilt wird:
R = (K + Z + B) / m
Der nominelle Zinssatz, der zur Berechnung der Zinsen dient, bezieht sich für die gesamte Laufzeit auf die anfängliche Kreditsumme, obwohl der dem Kreditinstitut tatsächlich fehlende Betrag wegen der zurückgezahlten Raten von Monat zu Monat abnimmt; den tatsächlichen Zinssatz, der dieser Tatsache gerecht wird, bezeichnet man als den effektiven Zinssatz. Der jährliche effektive Zinssatz peff ergibt sich aus dem (monatlichen) nominellen Zinssatz gemäß der Formel:
peff = pnom · 24 m / (m + 1).
Beispiel: Für einen Kredit von K = 15 000 Euro über m = 18 Monate bei einem nominellen Zinssatz von 0,38% betragen die Zinsen Z = 1026 Euro. Eine 2-prozentige Bearbeitungsgebühr führt zu einer Gesamtdarlehenssumme von 16 326 Euro und zu monatlichen Raten von R = 907 Euro. Der jährliche effektive Jahreszinssatz beläuft sich dabei auf 8,64%.
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