Gruppentheorie

eine mathemat. Theorie der modernen Algebra, die die Struktur von Gruppen untersucht. Eine Gruppe (3) erhält ihre besondere Struktur dadurch, dass zwischen ihren Elementen eine spezielle Operation definiert wird; Gruppen, die sich ihrer Struktur nach nicht unterscheiden, heißen zueinander isomorph. Die G. ermöglicht darüber hinaus eine Klassifikation von Gruppen nach verschiedenen Eigenschaften ihrer Struktur. Da die Elemente von Gruppen neben Zahlen auch Abbildungen (z. B. Kongruenz, Ähnlichkeit u. a.), Transformationen (z. B. Spiegelung, Drehung, Lorentztransformation) u. Symmetrien sein können, spielt die G. in der Geometrie u. auch in der Physik eine wichtige Rolle: Sie ermöglicht eine Klassifikation von solchen Objekten, die gegenüber diesen Abbildungen, Transformationen oder Symmetrien invariant sind. Auf diese Weise gelang erstmals Felix Klein eine Klassifikation der verschiedenen Geometrien.

In der Physik führt die Untersuchung der Gruppe der Lorentztransformationen zu einer Klassifikation der Physik in relativistische u. nichtrelativistische Physik. Durch die Untersuchung der Eigenschaften von Symmetriegruppen lässt sich in der Kristallographie ein Überblick über alle möglichen Kristallformen geben.