Lexikon
Gruppe
Mathematik
ein mathematischer Strukturbegriff: Eine Menge, zwischen deren Elementen eine assoziative, innere Verknüpfung erklärt ist, heißt Gruppe, wenn ein neutrales Element (Menge) existiert, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen Element zu diesem zurückführt, und wenn zu jedem Element ein inverses Element (invers) existiert, das, mit dem ersten verknüpft, das neutrale Element liefert. Gilt außerdem das Kommutativgesetz, so heißt die Gruppe kommutativ oder Abelsch (nach N. H. Abel), gelegentlich auch Modul. – Mit der Untersuchung der bei Gruppen auftretenden Gesetzmäßigkeiten befasst sich die Gruppentheorie; sie untersucht u. a. das Vorkommen von Untergruppen. Bei endlichen Gruppen stellt man die möglichen Verknüpfungen durch Verknüpfungstafeln, die sog Gruppentafeln, dar (Gruppoid, Halbgruppe, Ring). So bildet z. B. die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung, der Null als neutralem Element und der Zahl –n als inversem Element zu n eine Gruppe.
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