Logarịthmen

Abkürzung log, lg, die Zahl, mit der man in der Gleichung a^b = c die Zahl a (Basis) potenzieren muss, um die Zahl c zu erhalten; z. B. ist 3 der Logarithmus von 1000 zur Basis 10, da 10³ = 1000; 5 ist der Logarithmus von 32 zur Basis 2, da 2⁵ = 32. Man kann zu jeder Basis Logarithmen berechnen, beschränkt sich aber im Allgemeinen auf die Basis 10 (Briggs’sche Logarithmen oder dekadische Logarithmen; stets mit lg gekennzeichnet). Die Logarithmen der Zahlen größer als 1 sind positiv, die der Zahlen zwischen 0 und 1 negativ, lg 1 = 0. Die Logarithmen negativer Zahlen sind imaginär. Logarithmen sind transzendente Zahlen und werden mit Hilfe von Reihen berechnet und in Logarithmentafeln zusammengestellt. Die Tafeln sind meist 4- oder 5-stellig. Bei den Logarithmen unterscheidet man die Kennziffer und die Mantisse, z. B. hat lg 20 = 1,30103 ... die Kennziffer 1 und die Mantisse 30 103 ... In den Naturwissenschaften und der höheren Mathematik werden die natürlichen Logarithmen (Abkürzung ln oder log nat) mit der Basis e = 2,71828 ... (Euler’sche Zahl) benutzt. Dabei gilt:

Durch Multiplikation mit 0,43429 ..., dem Modul des Logarithmensystems zur Basis 10, erhält man die dekadischen Logarithmen aus den natürlichen.

Rechnen mit Logarithmen: Der Logarithmus eines Produkts (Quotienten) ist gleich der Summe (Differenz) der Logarithmen aus ihren Faktoren (dem Dividenden und Divisor): lg (a·b) = lg a + lg b; lg (a:b) = lg a – lg b. Durch die Logarithmen werden Multiplikation und Division auf Addition und Subtraktion, Potenzieren und Radizieren auf Multiplikation und Division zurückgeführt. Logarithmen erleichtern also das Rechnen mit vielstelligen Zahlen. Die Bedeutung der Logarithmen für das Ausführen komplizierter Rechnungen ist mit Einführung von Computern und elektronischen Taschenrechnern erheblich zurückgegangen.