Reihe

mathematischer Begriff; eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder. Sie heißt je nach der erzeugenden Folge endlich oder unendlich. Hat die Folge der Teilsummen (der Summen s_n = a₁ + ... + a_n der n ersten Glieder) einen Grenzwert, so heißt die Reihe konvergent und der Grenzwert Summe der Reihe. Existiert kein Grenzwert, so heißt die Reihe divergent. Notwendige Bedingung für Konvergenz ist, dass die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden. Für alternierende Reihen (Reihen mit abwechselnden Vorzeichen) ist diese Bedingung auch hinreichend. Dass sie es nicht allgemein ist, zeigt die harmonische Reihe: 1 + 1/2 + 1/3 +..., sie divergiert. Eine Reihe mit nur positiven Gliedern konvergiert bzw. divergiert, wenn sie dem Cauchy’schen Quotientenkriterium genügt. Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der absoluten Beträge ihrer Glieder konvergiert.

Besondere Reihen:

1. Arithmetische Reihen: Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seiner benachbarten Glieder. Die Differenz d zweier benachbarter Glieder ist konstant. Das n-te Glied ergibt sich zu a_n = a₁ + (n – 1) d; die Summe der ersten n Glieder beträgt: s_n = 1/2 n (a₁ + a_n).

2. Geometrische Reihen: Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner benachbarten Glieder. Der Quotient q zweier benachbarter Glieder ist konstant. Das n-te Glied heißt: a_n = a₁ · q^n–1. Die Summe der ersten n Glieder beträgt (q ≠ 1): (Anwendung bei der Zinseszins- und Rentenrechnung). Die unendlichen geometrischen Reihen konvergieren nur, wenn der absolute Betrag von q < 1 ist. Der Summengrenzwert ist

3. Potenzreihen haben die Form

a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ... Die Konvergenz hängt im Allgemeinen von x ab (Konvergenzradius). – Bei der Binomialreihe sind die auftretenden Koeffizienten Binomialkoeffizienten. – Funktionen lassen sich in Potenzreihen entwickeln. Die Reihen werden benutzt zur Berechnung von Funktionswerten, z. B. Logarithmen und Integralen, und zur Aufstellung von Näherungsformeln.