Grenzwert

lateinisch Limes, Abkürzung lim, ein grundlegender Begriff für die Analysis.

1. Grenzwert einer unendlichen Folge: Der Grenzwert einer Folge g ist eine Zahl, in deren beliebig kleiner Umgebung (offenes Intervall, das g enthält) von einer bestimmten, hinreichend großen Nummer ab alle Zahlen der Folge liegen. Schreibweise: (gelesen: limes a_n für n gegen unendlich = g) Beispiele:

2. Grenzwert einer Funktion: Eine Funktion x→f(x) hat in x₀ einen Grenzwert g, wenn f(x) in einer beliebig kleinen Umgebung von g liegt, falls nur x in einer hinreichend kleinen Umgebung von x₀ liegt, die x₀ nicht zu enthalten braucht. Es kann auch sein, dass bei rechts- und linksseitiger Annäherung an x₀ verschiedene Grenzwerte entstehen. Die Funktion hat in x₀ nur dann einen Grenzwert, wenn die Grenzwerte bei Annäherung von beiden Seiten gleich sind. Ist dieser Grenzwert außerdem noch gleich dem Funktionswert f(x₀), dann heißt die Funktion in der Umgebung von x₀stetig.

Voraussetzung für die Existenz eines Grenzwertes ist, dass f(x) in der Umgebung von x₀ definiert ist; x₀ muss nicht dem Definitionsbereich angehören: z. B. hat die Funktion den Grenzwert 2 x₀, wenn x gegen x₀ strebt – obwohl x₀ nicht zu ihrem Definitionsbereich gehört. Schreibweise:

Beispiel: