Lexikon
Grenzwert
Mathematik
lateinisch Limes, Abkürzung lim, ein grundlegender Begriff für die Analysis.
1. Grenzwert einer unendlichen Folge: Der Grenzwert einer Folge g ist eine Zahl, in deren beliebig kleiner Umgebung (offenes Intervall, das g enthält) von einer bestimmten, hinreichend großen Nummer ab alle Zahlen der Folge liegen. Schreibweise: 
(gelesen: limes an für n gegen unendlich = g) Beispiele: 
2. Grenzwert einer Funktion: Eine Funktion x→f(x) hat in x0 einen Grenzwert g, wenn f(x) in einer beliebig kleinen Umgebung von g liegt, falls nur x in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0 liegt, die x0 nicht zu enthalten braucht. Es kann auch sein, dass bei rechts- und linksseitiger Annäherung an x0 verschiedene Grenzwerte entstehen. Die Funktion hat in x0 nur dann einen Grenzwert, wenn die Grenzwerte bei Annäherung von beiden Seiten gleich sind. Ist dieser Grenzwert außerdem noch gleich dem Funktionswert f(x0), dann heißt die Funktion in der Umgebung von x0stetig.
Voraussetzung für die Existenz eines Grenzwertes ist, dass f(x) in der Umgebung von x0 definiert ist; x0 muss nicht dem Definitionsbereich angehören: z. B. hat die Funktion 
den Grenzwert 2 x0, wenn x gegen x0 strebt – obwohl x0 nicht zu ihrem Definitionsbereich gehört. Schreibweise: 
Beispiel: 
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