Lexikon
Funktiọn
Mathematik
eine eindeutige Abbildung in der Analysis. Eine Funktion ordnet jedem Element (Urbild genannt) einer Menge (Definitionsbereich genannt; Symbol D) ein wohlbestimmtes Element (Bild) einer zweiten Menge (Zielbereich) zu; die Menge aller Bilder heißt Bildmenge oder Wertebereich und ist eine Teilmenge des Zielbereichs. Die Funktion als Zuordnung wird im Allgemeinen mit dem Buchstaben f, der Platzhalter für die Urbilder bei einer unabhängigen Variablen mit x und das zugeordnete Bild mit f(x) bezeichnet; jedes geordnete Paar (x, f(x)) wird Wertepaar genannt. Man schreibt eine Funktion entweder als Zuordnung:
f: x → f(x)
(gelesen: f: x wird zugeordnet f von x) oder aber als Menge aller ihrer Wertepaare:
f = { (x, y) | y = f(x) }
(gelesen: f ist gleich der Menge aller geordneten Paare x, y mit der Eigenschaft y gleich f von x), wobei jeweils zusätzlich der Definitionsbereich angegeben ist.
Bei reellen Funktionen sind Urbilder und Bilder reelle Zahlen; Beispiel: Die quadratische Funktion f ordnet jeder reellen Zahl (D =ℝ) ihr Quadrat zu; hier gilt für jedes Urbild
x: f(x) = x2;
man schreibt
f: x → x2 bzw. f = { (x, y) | y = x2 };
die Gleichung y = x2 heißt Funktionsgleichung dieser Funktion; f besitzt beispielsweise die Wertepaare (2, 4) und (–7, 49).
Ist eine Funktion in einem Intervall injektiv (d. h. eineindeutig), so existiert ihre Umkehrfunktion.