Axiomạtik

Lehre von den Axiomen oder Lehre von der axiomatischen Methode, ein Grundelement moderner Grundlagenforschung. Die Axiomatik besteht darin, die in einem bestimmten Bereich vorgegebenen Sätze bzw. Aussagen in einen derartigen Begründungszusammenhang zu bringen, dass sie aus bestimmten Axiomen nach bestimmten Regeln vollständig und widerspruchsfrei abgeleitet werden können. Die Inhalte der Axiome sind dabei beliebig, die dabei verwendeten Begriffe gelten im Sinn der impliziten Definition als bestimmt.

Es werden für die Axiome insgesamt nur die drei Hilbert’schen Kriterien gefordert: Die Axiome müssen unabhängig voneinander sein, d. h. dürfen nicht aufeinander zurückgeführt werden können (Irreduzibilitätskriterium), müssen die vorgegebenen Sätze vollständig erfassen (Vollständigkeitskriterium) und dürfen unmittelbar und vor allem mittelbar, d. h. in ihren möglichen Ableitungen, nicht zu Widersprüchen führen (Kriterium der Widerspruchsfreiheit). Der Beweis des letzten und wichtigsten besteht darin, dass sich nicht zwei Sätze ableiten lassen, die sich kontradiktorisch (d. h. wie A und Nicht-A) zueinander verhalten.

Damit besteht die Axiomatisierung eines Bereichs einerseits in der reduktiven Gewinnung von Axiomen, andererseits in der deduktiven Herleitung aller Bereichssätze aus denselben. Ein axiomatisches System besteht aus den Axiomen, den für die Ableitung gültigen Regeln sowie den abgeleiteten Sätzen.