Geometrie

Teilgebiet der Mathematik, das sich mit ebenen und räumlichen Gebilden beschäftigt und diese auf Gesetzmäßigkeiten hinsichtlich ihrer Lage, Größe und Gestalt betrachtet oder auch ihre Veränderungen untersucht, etwa durch Abbildungen. Je nachdem, ob metrische Beziehungen (Länge, Winkelgrößen, Flächen- und Rauminhalte) benutzt werden oder ob nur die gegenseitige Lage der Gebilde betrachtet wird, spricht man von metrischer Geometrie oder von Geometrie der Lage (projektive Geometrie). Metrische Geometrien sind: die euklidische Geometrie, die auf der Grundlage des Parallelenaxioms aufgebaut ist, die Bolyai-Lobatschewskij’sche (hyperbolische) Geometrie, die dieses Axiom nicht benutzt, und die Riemann’sche (elliptische) Geometrie, die außerdem noch annimmt, dass nicht jede Gerade unendlich lang ist. Die Geometrie der Lage kann diese drei Geometrien als Sonderfälle einer allgemeinen Maßgeometrie aufbauen. Heute findet immer mehr das Prinzip der Abbildung auf bestimmten Mengen Eingang in die gesamte geometrische Betrachtungsweise, wobei man insbesondere untersucht, welche Größen (Abstände, Flächeninhalte, Winkel u. a.) bei einer Abbildung in der Ebene oder im Raum unverändert bleiben, also Invarianten der Abbildung sind.

Die Geometrie der ebenen Gebilde heißt Planimetrie, die der körperlichen Gebilde Stereometrie. Die rechnende Geometrie (analytische Geometrie, Koordinatengeometrie) und die Differenzialgeometrie benutzen Verfahren der Algebra und Analysis. Die Untersuchungen führen auf oftmals bizarre Körperformen von großer Vielseitigkeit, deren Gesetzmäßigkeiten im Allgemeinen recht komplex sind. – Die darstellende Geometrie bildet Raumgebilde auf verschiedenen Ebenen (Tafeln) ab (Axonometrie). – Die Kugelgeometrie (sphärische Geometrie) behandelt die geometrischen Verhältnisse auf Kugeloberflächen unter Zuhilfenahme von Großkreisen (Meridianen). Heute weiß man, dass nichteuklidische Geometrien unser Universum im Großen besser beschreiben als die euklidische Geometrie. Für unsere engere Umgebung ist aber nach wie vor die Geometrie des Euklid das geeignetste mathematische Werkzeug.