fraktạle Geometrie

von B. B. Mandelbrot 1975 eingeführte Bezeichnung für eine Geometrie, die sich nicht mit den Standardformen (Dreieck, Kreis usw.) der euklidischen Geometrie befasst, sondern mit komplexen geometrischen Gebilden, sog. Fraktalen, wie sie ähnlich in der Natur vorkommen (z. B. Verästelung der Blutgefäße, Küstenlinie, Oberfläche eines Gebirges). Ein Fraktal besitzt zwei wesentliche Eigenschaften: Selbstähnlichkeit und gebrochene Dimension. Selbstähnlichkeit bedeutet, dass jeder Teil eines fraktalen Gebildes dem Ganzen geometrisch ähnlich ist. Gebrochene Dimension heißt, dass von der Ganzzahligkeit (z. B. 2 für die Ebene, 3 für den Raum) abgerückt wird. Beispiel einer Kurve mit gebrochener Dimension ist die 1904 von H. von Koch beschriebene Schneeflockenkurve (auch Koch’sche Kurve). Bei ihrer Konstruktion geht man von einem gleichseitigen Dreieck aus, an das man an jeder Seite ein kleines gleichseitiges Dreieck (Seitenlänge ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge) in der Mitte der Seite ansetzt. Dadurch entsteht ein sechszackiger Stern, mit dessen Seiten man in der gleichen Weise verfährt. Da sich die Länge bei jedem Schritt um den Faktor 4/3 erhöht, wächst der Umfang letztendlich ins Unendliche, obwohl die Kurve nur eine endliche Fläche umschließt. Der Koch’schen Kurve wird die fraktale Hausdorff-Dimension 1,26 zugewiesen. Die fraktale Geometrie findet u. a. Anwendung bei der Beschreibung turbulenter Strömungen sowie der Computersimulation von Geländeformen.