Lexikon
Kugel
Mathematik
Kugel und Kugelteile
Kugel und Kugelteile
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Ebenen schneiden die Kugel in Kreisen; Kreise auf Ebenen durch den Mittelpunkt heißen Großkreise. 2 parallele Ebenen begrenzen eine Kugelschicht; ihre krumme Oberfläche heißt Kugelkappe (Kugelhaube, Kalotte) oder Kugelzone. Ein Kugelausschnitt (Sektor) wird von einem Segment und dem Kegel gebildet, dessen Spitze im Mittelpunkt liegt und dessen Grundfläche mit der des Segments zusammenfällt.
Formel zur Berechnung:
Volumen: V = 4/3 π r3
Oberfläche: O = 4 π r2
VSegment = 1/3 π h2 (3 r − h)
VSektor = 2/3 π r2h
OKappe = OZone = 2 π r h
(h = Höhe des entsprechenden Segments bzw. der entspechenden Schicht.)
Die kürzeste Entfernung zweier Punkte auf der Kugeloberfläche wird auf einem Großkreis gemessen. 2 Großkreise schneiden sich in 2 gegenüberliegenden Punkten der Kugel und bilden ein Kugelzweieck, 3 Großkreise ein Kugeldreieck. Die eine Kugel berührende Ebene (Tangentialebene) steht auf dem Berührungskreis senkrecht und dient zur Messung der Winkel des Kugelzweiecks und -dreiecks. Diese Winkel werden durch die Winkel gemessen, die die Tangenten der sie erzeugenden Großkreise (in der Tangentialebene) miteinander bilden. Die Winkelsumme im Kugeldreieck ist > 180°, der Überschuss heißt sphärischer Exzess. Seiten und Winkel eines Kugeldreiecks werden mit den Formeln der sphärischen Trigonometrie berechnet. Sind α, β, γ die Winkel (in °) des Kugeldreiecks, berechnet sich die Oberfläche durch:
OZweieck = π α r2 / 90°
ODreieck = (α + β + γ − 180°) / 180° · π r2
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