Lexikon
Verband
Mathematik
Strukturbegriff der modernen Algebra. Ein Verband ist eine Halbordnung, in der es zu je zwei Elementen ein größtes gemeinsames Unterelement (Infimum) und ein kleinstes gemeinsames Oberelement (Supremum) gibt. Ein Verband ist z. B. die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl mit dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum. Ein Verband ist auch die Potenzmenge einer Menge, d. h. die Menge aller Teilmengen einer Menge einschließlich der leeren Menge und der Menge selbst mit dem Durchschnitt zweier Mengen als Infimum und der Vereinigung als Supremum. Ein etwa vorhandenes unterstes Element (bei der Potenzmenge die leere Menge, bei der Teilermenge die 1) heißt Nullelement des Verbands. Ein oberstes Element (bei der Potenzmenge die Menge selbst, bei der Teilermenge die Zahl selbst) heißt Einselement des Verbands. Nicht jeder Verband besitzt ein Null- oder Einselement. Der Begriff Verband wurde erstmals von R. Dedekind gebraucht.
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