Integrạl

eine mathematische Funktion, die sich mit Hilfe der Integralrechnung durch Integration aus einer gegebenen Funktion errechnet. Dabei erhält man die allgemeine Lösung als unbestimmtes Integral und die den speziellen (bestimmten) Verhältnissen einer Aufgabe angepasste Lösung als bestimmtes Integral.

Das unbestimmte Integral F(x) (gesprochen: groß F von x) ist eine Funktion, deren 1. Ableitung F ′(x) gleich dem Integranden f(x) des Integrals ist, also: F ′(x) = f(x). Jede Stammfunktion F(x) = ∫f(x)dx + C ( C = Integrationskonstante) gehört zur Gesamtheit aller unbestimmten Integrale von f(x); z. B. ist ein unbestimmtes Integral von x² die Funktion ¹/₃ x³ + C, da deren Ableitung wiederum x² ist; als Formel geschrieben:

Das bestimmte Integral einer Funktion f(x) errechnet sich aus dem unbestimmten Integral unter Einführen der unteren Grenze a und der oberen Grenze b zu wobei F(a) und F(b) die Werte F(x) für x = a und x = b bedeuten; z. B.: Nach B. Riemann ist anschaulich darstellbar als der gemeinsame (gleiche) Grenzwert F von 2 Staffelflächen, die durch Streifenzerlegung jener Fläche entstehen, die von der Funktionskurve, der x-Achse und den Grenzordinaten bei x = a und x = b eingeschlossen wird. Die Summierung (Σ, griechischer Buchstabe Sigma) aller Streifen der Staffelfläche unterhalb bzw. oberhalb der Kurve ergibt: Wird die Streifenbreite Δx immer schmaler, so gehen die Werte F₁ und F₂ in den Grenzwert F über:

Es gibt auch Mehrfachintegrale, z. B. bei der Integration eines Volumens: ∫∫∫ dx dy dz. – Das Integralzeichen ∫ bedeutet S(umme) und ist von G. W. Leibniz eingeführt worden.